Геометрический смысл производной определение

Производная - главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x Производной функции в точке называется если геометрический смысл производной определение существует и конечен отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю. То есть, 1 Пример 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции. Из определения производной вытекает следующая схема её вычисления. Дадим аргументу приращение дельта и найдём приращение функции:. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента: Вычислим предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть искомую производную: К понятию производной привело изучение Галилео Галилеем закона геометрический смысл производной определение падения тел, а в более широком смысле - задачи о мгновенной скорости геометрический смысл производной определение прямолинейного движения точки. Пусть камешек поднят и затем из состояния покоя отпущен. Путь s, проходимый за время t, является функцией времени, т. Если задан закон движения точки, то можно определить среднюю скорость за любой промежуток времени. Пусть в момент времени камешек находился в положении A, а в момент - в положении За промежуток времени от t до точка прошла путь. Поэтому средняя скорость движения за этот промежуток времени, которую обзначим черезсоставляет. Однако движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постоянно возрастает. То есть, средней скорости уже недостаточно для характеристики быстроты движения на различных участках пути. Такая характеристика тем точнее, чем меньше промежуток времени. Поэтому вводится следующее понятие: мгновенной скоростью прямолинейного движения или скоростью в данный момент времени t называется предел средней скорости при : при условии, что этот предел существует и конечен. Таким образзом, мгновенная скорость есть предел отношения приращения функции s t к приращению аргумента t при Это и есть производная, которая в общем виде записывается так:. Решение обозначенной задачи представляет собой физический смысл производной. Найти производную функции Решение. Из определения геометрический смысл производной определение вытекает следующая схема для геометрический смысл производной определение вычисления. Дадим аргументу приращение и найдём Шаг 2. Найдём приращение функции: Шаг 3. Найдём отношение приращения функции геометрический смысл производной определение приращению аргумента: Шаг 4. Вычислим предел этого отношения прит. Проведём через точки М и Р прямую и назовём её секущей. Обозначим через угол между секущей и осью. Очевидно, что этот угол зависит от. Если существует то прямую с угловым коэффициентом проходящую через точкуназывают предельным положением секущей МР при или при. Касательной к графику функции в точке М называется предельное геометрический смысл производной определение секущей МР приили, что то же при. Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал пределпричём предел равен углу наклона касательной к оси. Теперь дадим точное определение касательной. Касательной к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку имеющая угловой коэффициентт. В этом состоит геометрический смысл производной. Таким образом, где - угол наклона касательной к оси абсцисс, т. Найти производную функции и значение этой производной при. Воспользуемся схемой, приведённой в примере 1.



COPYRIGHT © 2010-2016 postroimpokrasim.ru